Vector Addition- (Mathematical Method) in Hindi

 

वेक्टरों को जोड़ने की गणितीय विधि (Analytical Method of Vector Addition)

यदि दो वेक्टरों को परिमाण व दिशा में किसी समान्तर चतुर्भुज की किसी बिन्दु से खिंची गई दो संलग्न भुजाओं से निरुपित करें तो उनका परिणामी , परिमाण व दिशा में , समान्तर चतुर्भुज के उस बिन्दु से खींचें गए विकर्ण द्वारा निरुपित होगा | इसे वेक्टरों को जोड़ने का “समान्तर चतुर्भुज नियम” कहते हैं |

माना दो वेक्टर A व B परस्पर ө कोण पर स्थित हैं ,जो समान्तर चतुर्भुज OPQS में संलग्न भुजाएं OP व OS से तथा परिणामी वेक्टर R, परिमाण व दिशा में OQ से प्रदर्शित है | परिणामी वेक्टर R का परिमाण ज्ञात करने के लिए ,भुजा OP को आगे बढ़ाकर , बिन्दु Q से लम्ब QE खींचते हैं | अतः ∠QPE = ө , तो समकोण त्रिभुज OEQ में –

(OQ)²  = (OE)² + (QE)²  =  ( OP + PE )² + (QE)²

         = (OP)²  + (PE)²  + 2(OP)(PE) + (QE)²

(OQ)²  = (OP)²  + (PQ)²  + 2(OP)(PE)   [चूँकि(PE)²  + (QE)² = (PQ)²]

समकोण त्रिभुज PEQ में ,

cos ө = PE / PQ अथवा  PE = PQ cos ө

अतः   (OQ)²  = (OP)²  + (PQ)²  + 2(OP)( PQ cos ө )

यहाँ OP = A ,PQ = OS = B , तथा OQ = R

इस प्रकार ,                                        R² = A² + B² + 2AB cos ө

परिणामी वेक्टर R की दिशा ज्ञात करने के लिए , माना कि वेक्टर  R वेक्टर A की दिशा से ∝ कोण बनाता है , तो

tan ∝ = QE / OE = QE / OP + PE

तथा OP = A एवं PE = B cos ө |  त्रिभुज PEQ से , sin ө = QE / PQ

अथवा ,      QE = PQ sinө  = B sin ө

अतः                                              tan ∝ = B sin ө / A + B cosө