Vectors Subtraction and Resolution - components

वेक्टरों का घटाना या व्यकलन (Subtraction of Vectors)-

सदिशों का व्यकलन सदिशों के योग नियमों पर ही आधारित है | दो सदिशों को आपस में घटाने का वही तात्पर्य है जो धनात्मक सदिश में ऋणात्मक सदिश का योग करने पर प्राप्त होता है |

                    माना दो सदिश A व B हैं | सदिश B को सदिश A में से घटाना है | ग्राफ विधि में सदिशों को घटाने की दो विधियाँ हैं |

प्रथम विधि – इस विधि में माना  दो सदिश A व B (चित्र i)  हैं | अतः सदिश  B को सदिश A में से घटाने के लिए सर्वप्रथम B की दिशा विपरीत करके सदिश  -B (चित्र ii)  प्राप्त करते हैं | तत्पश्चात सदिश  -B को सदिश A में जोड़ देते हैं |

 इसके लिए सदिश A खींचकर उसके बाणाग्र से सदिश  -B खींचते हैं तथा सदिश A के प्रारम्भिक सिरे से सदिश  -B  के बाणाग्र तक एक सदिश R खींच लेते हैं | इस प्रकार सदिश R, सदिश A व B का योग अथवा सदिश A व B का व्यकलन है (चित्र iii) | अतः

R = A + (-B) = A – B

द्वितीय विधि – सदिशों की द्वितीय विधि के अनुसार ,सर्वप्रथम दिए हुए दोनों सदिशों A व B को एक ही बिंदु से खींच लेते हैं (चित्र)| उसके बाद सदिश A में से सदिश  B को घटाना है तो सदिश  B के  बाणाग्र से प्रारम्भ करके सदिश A के बाणाग्र तक एक अन्य सदिश R खींच लेते हैं | इस प्रकार सदिश R , सदिश A व B का व्यकलन है (चित्र) |

R = A – B

यदि सदिश B में से सदिश A को घटाना है तो सदिश A के बाणाग्र से प्रारम्भ करके सदिश  B के  बाणाग्र तक सदिश R’ खींच लेते हैं जो सदिशों A व B का अन्तर है |

सदिशों का वियोजन (Resolution of Vectors) –

सदिशों का वियोजन सदिशों को जोड़ने की विपरीत प्रक्रिया है | यदि किसी दिए हुए सदिशों को दो सदिशों में इस प्रकार विभाजित करें कि उनका संयुक्त प्रभाव दिए हुए सदिश के प्रभाव के समान है तो इन विभाजित या वियोजित वेक्टरों को दिए हुए वेक्टर के ‘ घटक ’कहलाते हैं|

Note –: किसी दिए हुए सदिश के संभव घटकों के अनगिनत युग्म हो सकते हैं | 

आयताकार घटक (Rectangular Components)– यदि किसी दिए सदिश को ऐसे सदिशों में वियोजित करें कि वे परस्पर लम्बवत हो तो इन सदिशों को दिए हुए सदिश का आयताकार घटक  कहते हैं |

माना कोई सदिश A है जिसे दो आयताकार घटक में वियोजित करना है | वियोजित करने के लिए सदिश A के प्रारम्भिक सिरे को मूल बिन्दु मान कर दो समकोणिक अक्ष OX तथा OY खींचते हैं | उसके बाद सदिश A के बाणाग्र बिन्दु S से OX तथा OY पर लम्ब खींचते हैं ,जो बिन्दु P व Q पर मिलते हैं | मूल बिन्दु O से बिन्दुओं P तथा Q तक खींचे गए सदिश A_x  व A_y दिए हुए सदिश A के आयताकार घटक हैं | अतः आयत OPSQ  से स्पष्ट है कि दिए गये सदिश A, सदिशों A_x  व A_y का योग है |

                                         A = A_x  + A_y                               ...............(i)

OP व OQ को मापकर A_x  व A_y के परिमाण A_x व A_y ज्ञात किये जा सकते हैं |

माना कि X- तथा Y-अक्ष के अनुदिश एकांक सदिश क्रमशः i तथा j है | अतः

A_x  = A_x i  व A_y = A_y j  

अतः समीo (i) से                                        A = A_x i   +  A_y j   

यह समीकरण सदिश A के आयताकार घटकों के पदों में है | यदि इसे तीन विमाओं में व्यक्त करना है तो इसे इस प्रकार व्यक्त करेंगे –

  A = A_x i   +   j   + A_z k

यदि सदिश ,OX अक्ष से ө कोण बनाता है, तो

A_x = A cosө  तथा  A_y = A sinө

अतः

इस समीकरण की सहायता से सदिश का परिमाण व दिशा ज्ञात कर सकते हैं |

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